背包9讲最新分析和总结.pdf

想预览更多内容,点击预览全文

申明敬告:

本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己完全接受本站规则且自行承担所有风险,本站不退款、不进行额外附加服务;如果您已付费下载过本站文档,您可以点击这里二次下载

文档介绍

P01:01 背包问题

题目:有 N件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是

c[i] ,价值是 w[i] 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的

费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

基本思路: 这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以

选择放或不放。 用子问题定义状态: 即 f[i][v] 表示前 i 件物品恰放入一个容

量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都

是由它衍生出来的。 所以有必要将它详细解释一下: “将前 i 件

物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题, 若只考虑第 i 件物品

的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物

品的问题。 如果不放第 i 件物品, 那么问题就转化为“前 i-1 件

物品放入容量为 v 的背包中”; 如果放第 i 件物品, 那么问题就

转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i] 的背包中”,

此时能获得的最大价值就是 f[i-1][v-c[i]] 再加上通过放入第

i 件物品获得的价值 w[i] 。 注意 f[i][v] 有意义当且仅当存在一个前 i 件物品的子集, 其

费用总和为 v 。所以按照这个方程递推完毕后,最终的答案并不

一定是 f[N][V] ,而是 f[N][0..V] 的最大值。 如果将状态的定义

中的“恰”字去掉,在转移方程中就要再加入一项 f[i][v-1] ,

这样就可以保证 f[N][V] 就是最后的答案。至于为什么这样就可

以,由你自己来体会了。

优化空间复杂度: 以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*V) ,其中时间复杂度

基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到 O(V

最近下载