背包9讲最新分析和总结.pdf
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- 2021-06-18 发布|
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P01:01 背包问题
题目:有 N件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是
c[i] ,价值是 w[i] 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的
费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
基本思路: 这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以
选择放或不放。 用子问题定义状态: 即 f[i][v] 表示前 i 件物品恰放入一个容
量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都
是由它衍生出来的。 所以有必要将它详细解释一下: “将前 i 件
物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题, 若只考虑第 i 件物品
的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物
品的问题。 如果不放第 i 件物品, 那么问题就转化为“前 i-1 件
物品放入容量为 v 的背包中”; 如果放第 i 件物品, 那么问题就
转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i] 的背包中”,
此时能获得的最大价值就是 f[i-1][v-c[i]] 再加上通过放入第
i 件物品获得的价值 w[i] 。 注意 f[i][v] 有意义当且仅当存在一个前 i 件物品的子集, 其
费用总和为 v 。所以按照这个方程递推完毕后,最终的答案并不
一定是 f[N][V] ,而是 f[N][0..V] 的最大值。 如果将状态的定义
中的“恰”字去掉,在转移方程中就要再加入一项 f[i][v-1] ,
这样就可以保证 f[N][V] 就是最后的答案。至于为什么这样就可
以,由你自己来体会了。
优化空间复杂度: 以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*V) ,其中时间复杂度
基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到 O(V