梅涅劳斯定理.doc
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- 2021-06-18 发布|
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梅涅劳斯定理
【定理内容】
如果一条直线与 ABC的三边 AB、BC、CA或其延长线交 于F 、D、E点,
那么 AF
BD
CE
1.
FB
DC
EA
E
A
F
F
A
E
B C D D
B C
[ 评] 等价叙述:
ABC 的三边 AB 、 BC 、 CA 或其延长线上有三点 F 、 D 、 E ,
则 F 、 D 、 E 三点共线的充要条件是
AF
BD
CE
1
。三点所在直线称为三角形
FB
DC
EA
的梅氏线。
【背景简介】
梅涅劳斯( Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
【证法欣赏】
证法 1:(平行线分线段成比例)
E
G
A
F
A
F
G
E
B C D D
B C
证:如图,过 A 作 AG // BC 交 CF 延长线于 G ,
∵ AG// BC,∴
AF
AG ,
CE
CD
,
FB
BD
EA
AG
又BD BD
CD CD
则AF CE BD AG CD BD 1
FB EA CD BD AG CD
AFBDCE 1 FB DC EA
证法 2:(正弦定理)
E
A
F
F
A
E
B
C
D
D
B
C
证:如图,令 AEF
, AFE
,
BDE
,
在 AEF 中,由正弦定理知:
AF
AE ,
sin
sin
同理 BF
BD
BD,CD
CE
sin
sin(180
) sin
sin
sin
∴ AF
sin
, BD
sin
, CE
sin
,
AE
sin
BF
sin
CD
sin
∴ AF
BD
CE
1,即 AF
BD
CE
1.
AE
BF
CD
FB
DC
EA
【逆定理】
梅涅劳斯定理的逆定理也成立,即
如果有三点 F 、 D 、 E 分别在 ABC 的三边 AB 、 BC 、 CA 或其延长线上,
且满足 AF
BD
CE
1,那么 F 、 D 、 E