逆等线:拼接构造求最值.docx

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文档介绍

逆等线:拼接构造,求线段和最值

引入:

今天说说逆等线,说它之前我们先来一波回忆:

下图大家应该很熟:

D为动点!特殊化证明:

其结论为:和定值

一般化证明:

只要保证DE,DF与腰的夹角相等,总会有“和定值”的结论!

做AG∥FD,HD∥BC易得红蓝全等,黄色平四

∴DE+DF=AH+HG=AG(定长)

另证易得:△DEA∽△DFB∵AD+BD为定值∴DE+DF为定值

引申:D在线段AB外时差为定值(证明同理)

然后将这个角一路的改变

总有一刻:

也相当于做腰的平行线!

此图即产生了逆等线,所谓逆等线,逆向相等也!

01:从头开始

引例:

AC=6,CE=BF,∠ACB=60°,AF+BE的最小值为?

然后只需共线最短即可。

细细的总结一下这个拼接,发现其实是做了一个三角形KBF,也可以说把三角形BCE扣下来,安装到下面,并且是将BF与CE边拼接起来,拼接的时候注意动点F和E拼在一起,这样就完美无缺了。这就是解决逆等线问题的一般思路了——拼接构造(也是凭空构造的一种,一般没见过的不太好想)

02:非等腰的逆等

逆等线一定要在等腰的两个腰上吗?事实证明并不需要,如下题:

锐角△ABC中,∠B=60°,BC=8,AC=10动点D、E满足AD=CE求CD+BE最小值?

构造方式基本一样不再熬述这里特别提一下,如果是看做几何变换的话仅平移是不行的,还要翻折一次才能到位。答案

03非边上的逆等

那逆等线是不是一定要在三角形的边上呢?也不一定!

如图等边△ABC,AB=6,CD为高,CE=BF,AF+BE的最小值为?此时∠AFC=?

这题的逆等线分别在高线和边上构造方式依然类似:可看做:平移+翻折或者时直接抠下来,按上去

如图全等

AF+BE=AF+FG联结AG,F在AG上是最小勾股易算得

此时∠AFC=180°-45°-60°

=105°

04:同边逆等

那逆等线一定要在两条不同的

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