专题13利用导数研究函数零点问题B辑（解析版）.docx

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2021年高考数学压轴必刷题（第三辑）

专题13利用导数研究函数零点问题B辑

1．已知，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

（1），

当时，或.

当时，，

所以或时，，从而在，上单调递增；

当时，，从而在上单调递减；

当时，，所以，从而在上单调递增；

当时，，

所以或时，，从而在，上单调递增；

当时，，从而在上单调递减.

（2），.

由（1）得，当时，，,

所以仅在上有一个零点，因此时成立；

当时，，所以在上仅有一个零点1.

当时，，所以要满足题设有，

从而，解得，因此时成立.

综上，满足题目条件的的取值范围是.

2．已知函数.

（1）求证：是增函数；

（2）讨论函数的零点个数.

【答案】(1)略；(2) ，函数有一个零点；，函数有两个零点.

(1)证明： ,所以在上是增函数.

(2) 由（1）知是增函数，

，，

，使，

在上单调减，在上单调增，

，又，

；

令，

在上单调增，在上单调减，

，此时函数有一个零点，

把代入，得；

当，，时，，即，此时函数有两个零点.

综上：当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

3．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，证明：函数在区间有且仅有一个零点．

【答案】（Ⅰ）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为、，减区间为；（Ⅱ）证明见解析.

（Ⅰ）

，

，

由函数的定义域为，

①当时，令，得，

可得函数的增区间为，减区间为

②当时，令可得和

令，有，

可得函数在定义域单调递增，有，

可得当时，可得，

故函数的增区间为、，减区间为．

（Ⅱ）由，

令，

又由（Ⅰ）知，当时，

，

，

，

，

当且时，，，

有，

，

可得，

则当时，函数在区间有且仅有一个零点．

4．已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；