专题27立体几何与空间向量C辑（解析版）.docx

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2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题27立体几何与空间向量C辑

1．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，有下列结论：

①平面A1D1P⊥平面A1AP；

②多面体的体积为定值；

③直线D1P与BC所成的角可能为；

④APD1能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是___________(填上所有序号).

【答案】①②④

对于①，正方体中，，，

，平面，

平面，平面平面，故①正确；

对于②，，到平面的距离，

三棱锥的体积：，为定值，故②正确；

对于③，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，，1，，设，，，，

，，，，

，，

假设，所以，

，，所以，所以假设不成立，

故③错误；

对于④，见上图，由题得,设，

所以，

所以，

当时，，即是钝角.此时APD1是钝角三角形.

故④正确.

故答案为：①②④

2．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点与点间的距离的最小值为_______.

【答案】.

解：设在平面上的射影为，在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，，

则，，

∵，∴，

设到距离为，则，，

即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为.

故答案为：.

3．如图正方体中，为中点，为中点，为线段上一动点(不含)，过与正方体的截面为，则下列说法正确的是___________.

①当时，为五边形

②截面为四边形时，为等腰梯形

③截面过时，

④为六边形时在底面投影面积为五边形时在底面投影面积，则

【答案】②③

解：作的中点，则平面平面，设与交点为，

连接，由面面平行性质可知，，作，

由三角形的中位线定理可得，则共面，又面面 ，

所以，即是平行四边形，，所以，，