2021年高考数学解答题满分专练2.15 不等式选讲（理）（解析版）.docx

专题2.15 不等式选讲

1．绝对值不等式的解法：

（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．由不等式恒成立求参数取值范围的方法：

（1）讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；

（2）分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围．

3．含绝对值的函数问题处理方法：

通过对x的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；或者利用绝对值三角不等式，可以减少绝对值的个数，求最大值或最小值．

4．用基本不等式求最值需要满足基本不等式的有一个条件：一正二定三相等，特别是相等容易遗漏出错．

5．对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

（1）若在上恒成立，则；

（2）若在上恒成立，则；

（3）若在上有解，则；

（4）若在上有解，则．

1．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，，，且，证明：．

【试题来源】四川省成都市石室中学2020-2021学年高三下学期开学考试模拟（一）试题

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）先分段讨论去绝对值，解不等式，再求并集即可；

（2）先利用绝对值不等式求得，再妙用“1”进行代换，利用基本不等式求得即可．

【解析】（1）

当时，，则，所以，

当时，，则，所以，

当时，，则，所以，

综上：不等式的解集为；

（2）由绝对值不等式的性质可得，

，

因为，，，且，所以

，

当且仅当，时，等号成立．

故．

2．已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模

【答案】（1）；（2）．