函数的连续性.docx

第九节 函数的连续性和间断点

有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。 首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映， 是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。 如气温 T 随时间 t 的变化而连续变化， 铁棒长度 l 随着温度 u 的变化而连续变化等。 它们的共同特性是： 一方面在变化， 另一方面是在逐渐变化的。可在很短一段时间内， T 的变化很小；同样当温度 u 变化很小时， l 的变化也很小。这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时， 函数的变化也是微小的。下面我们就专门来讨论这种概念。

一、函数的连续性

预备知识

改变量：设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值的差 u2 u1 ，就叫 u 的改变量，记作 u u2 u1 。改变量也叫增量。

注意：① u1 ， u2 并不是 u 可取值的起点和终点，而是 u 变化过程中从 u1 变到

u2 。

② u 可正可负。

③ u 是一个整体记号，不是某个量

与变量 u 的乘积。

2. 函数 y

f

x

在 x x0 处连续的定义

y

定义 1

当自变量 x 在点 x0 的改变

量 x 为无穷小时，相应函数的改变量

y f x

y f x0

x

f x0

f x

f x0

也是同一过程中的无穷小量，即

lim

y

0 ，

x 0

则称 f x 在 x0 处连续，见图 1-37.

f ( x0 )

定理 1

f

x

在 x0 处连续的充要条

x

件是 lim f

x

f

x0

。

O

x0

x0

x x0

证明

由定义 1，

图 1-37

lim y 0

lim

f

x

f

x0

0

x 0

x

x0

lim

f

x

lim

f

x0 0

x

x0

x x0

lim

f

x

f

x0 .

x

x0

由定理 1，我们可将定义

1 改写为以下定义 2.

定义 2

如果