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PAGEPAGE1微分学第一节．数数是数学面对的基本对象。我们从熟悉数开始。什么是数？我们现在来构造它。定义：数轴是一条规定了起点、方向和单位长度的直线。起点称为0点，方向向右，单位长度称为1。如图：1于是，以0点为圆心，以1的长度为半径向右画弧，可得弧与直线的交点，记为1点。又以1点为心，1的长度为半径再画弧得交点，记为2点。如此下去，记为n点。于是，我们在数轴上得到了无限多个点的集合N，称此为自然数集。这个集合根据构造，有如下特点：（1），这是最基本的元素，是对事物质的规定。（2），称此为归纳原理。这是对事物量的发展。问题来了，这些数N如何表示？它们有什么性质？这是中国古代关于大数的表示：元代著名数学家朱世杰在他的经典著作《算学启蒙》“大数之类”一段中记载：“凡数之大者，天莫能盖，地莫能载，其数不能极，故谓之大数也。”“一，十，百，千，万，十万，百万，千万，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载，万万载曰极，万万极曰恒河沙，万万恒河沙曰阿僧祗，万万阿僧祗曰那由他，万万那由他曰不可思议，万万不可思议曰无量数。”先说集合，它比数更基本。集合是不定义名词，是关注对象全体的抽象。抽象表达的形式是符号。符号就是一些表意的图形。集合尽管是符号，但对它的内涵还是有要求的。我们说给定集合A指的是：中元素的规定。（注意，集合仅是规定它的元素，没有构造的意思。）规定必须做到：A与非A可识别A内元素可区别A中元素是不可分割的最小单位A自己不能作为A中的元素前3个要求是自然的，为什么要加入第4个要求？罗素悖论：若集合放松第4个要求，那么，把一切集合分成A，B两类，和。问属于哪一类？若则与的定义矛盾，若，则，这又与的定义矛盾。所以，集合本身不能属于自己。否则，会造成逻辑上层次的混淆。注：把单个元素也可以看成是一个集合，