专题65 直线与圆锥曲线的位置关系(解析版).docx

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专题65　直线与圆锥曲线的位置关系

专题知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：

①Δ>0?直线与圆锥曲线__相交__；

②Δ＝0?直线与圆锥曲线__相切__；

③Δ＜0?直线与圆锥曲线__相离__．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，

①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是__平行__；

②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是__平行或重合__．

2．解决圆锥曲线问题的思路与方法

(1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a，b，c或p，基本方法是利用定义或利用待定系数法求解．

(2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类讨论、等价转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法．

3．弦长问题

求直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式：设两个交点为，则弦长．

考点探究

考向1　直线与圆锥曲线的位置关系

【例】　（2019某某高三期中）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．

x

x

y

O

B

N

M

P

Q

D

【解析】（1）由，得直线的方程为．

令，得点的坐标为．

所以椭圆的方程为．

将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．

（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．

在中，令，得，而点是线段的中点，所以．