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文档介绍

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抽象函数问题—分类解析

一、分类解析抽象函数问题

我们在学习一类函数时,往往会碰到没有给出解析式的函数,称为抽象函数,而这类问题往往抽象性强,灵活性大,同学们在学习时往往感觉到很困惑,让我们和同学们一起来解决这类问题.

问题一:灵活思考会求函数定义域

例 1:函的定义域,则函的定义域是 分析:这里需要看作一个整体来求解.

解:因相当中的 ,则 ,则可以解得 或

评注: 对于抽象函数的定义域问题, 则一定要看清中的 , 或者说对于函数

,则可以把其中看作一个整体,问题就会迎刃而解.

问题二:条件赋值判断奇偶

例 2:已的定义域,且对于任意的实数 满 , 求证是偶函数.

分析:本题中可设 为具体的值,可确=时具体的 值,再判的奇偶 性.

解 : 在 中 , 令 得 到 , 则 可 以 得 到

令,得到 ,则得到 ,于是

,是偶函数.

评注:对于抽象函数的奇偶性,结合其特点,不妨取特殊值来解决.

问题三:利用图象判断单调性

例 3:已知偶函在上是减函数,是上是增函数还是减 函数,并证明你的结论.

分析:本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数,画出函数的示意图,以形助数, 使问题得到迅速地解决.

解:如图 1,则容易知是上是增函数,证明如下:任取

因是上是减函数, 所, 是偶函数, 所以 ,

,从,在上是增函数.

评注:往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题,则可以通过数形结合来解决.

图 1

问题四:巧妙求解函数值

例 4:已知 的定义域为 ,且 对一切正实、 都成

立,若 ,则 .

分析:本题可取特殊值代入即可解决问题.解 : 在 条 件

中 , 令

, 则 得 到

则得到 ,又令 ,则得到

,所以 .

评注:实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换,经过有限次的迭代,发现函数具有周期性, 则可以利用周期性巧妙解答.

问题五:讨论方程

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