最全面三角函数的最大值与最小值2021.docx

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求函数地最大值与最小值为高中数学中地重要内容，也为高考中地常见题型，本文对三角函数地求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。

一、化成 地形式

【例 】在直角三角形中，两锐角为 A 与 B，求 地最大值。

【解析】

由 ，得 ，则当 时， 有最大值 。

积

极向上

， 【例 】求函数 在 上地最大值与最小值。

探

索自己本

身 【解析】

价值

， 学业有成

由 ，得 ，

得 ，

则当 x=0 时， ；当 时，

【点评】这类题目解决地思路为把问题化归为 地形式， 一般

而言， ，但若附加了 x 地取值范围，最好地方法为通过图象加以解决。

例 中，令 ，画出 在 上地图象（如图 ），

积极向上

， 探索自己

本 值。

身价值

， 学业有成

图

不难看出 ，即 。

应注意此题容易把两个边界地函数值 与 误认为为最大值与最小

二、形如 地形式

【例 】求函数 地最大值与最小值。

【解析】由已知得 ，

即 ，

所以

因 ，

即 解得 ，

故

【点评】上述利用正（余）弦函数地有界性，转化为以函数 y 为主元地不等式，为解决这类问题地最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆地参数方程

与斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣地同学不妨试一试其他解

积

极 法。

向上

， 探索自己本

身 三、形如 地形式

价值

， 学

业 【例 4】求函数 地最大值与最小值。

有

成

【解析】

由 ，得 ， ，

，即

【点评】此题为利用了分离分母地方法求解地。若用例 地解法同样可求，有兴趣地同学不妨试一下，并作解法对比。

四、形如 地形式

【例 5】求 地最小值。

【解析】设 ，则 。

积极

向 从图 中可以看到 在区间 上为减函数（也可以利用函数地单

上

， 调性定义来证明这一结论）。

探

索自己本身价值