函数的幂级数展开.doc

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教案

函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路

教学内容

函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。

2．指导思想

（1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。

（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。

3. 教学安排

首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数：

（*）

另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：

(1) f (x) = ex = + …, x ∈(-∞, +∞)。

(2) f (x) = sin x = + …, x∈(-∞, + ∞)。

(3) f (x) = cos x = + …, x∈(-∞, + ∞)。

(4) f (x) = arctan x = + …, x∈[-1, 1]。