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函数的单调性

函数单调性的的判断方法

除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：

1.直接法

直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：

(1)正比例函数： eq \o\ac(○,1)当时，函数在定义域上是增函数； eq \o\ac(○,2)当时，函数在定义域上是减函数.

(2)反比例函数： eq \o\ac(○,1)当时，函数的单调递减区间是，不存在单调递增区间； eq \o\ac(○,2)当时，函数的单调递增区间是，不存在单调递增区间.

(3)一次函数： eq \o\ac(○,1)当时，函数在定义域上是增函数； eq \o\ac(○,2)当时，函数在定义域上是减函数.

（4）二次函数： eq \o\ac(○,1)当时，函数的图像开口向上，单调递减区间是，单调递增区间是； eq \o\ac(○,2)当时，函数的图像开口向下，单调递增区间是，单调递减区间是.

注意：在定义域上是增函数，其图像如右图：

2.图像法

画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.

3.运算性质法

（1）函数，当时有相同的单调性，当时有相反的单调性；如函数与的单调性相反，函数与的单调性相同；

（2）当函数恒为正（或恒为负）时与有相反的单调性，如：函数是递增函数，则在区间是递减函数；

（3）若，则与具有相同的单调性，如：函数，在定义域上，，且是上的递减函数，是上的递增函数，所以函数是上的递减函数，是上的递增函数；

（4）若，的单调性相同，则的单调性与，的单调性相同.如，令，即

，因为函数在上单调递减，的单调递减区间是，所以函数的单调递减区间是

； (5) 若，的单调性相反，则的单调性与的相同.因为与的单调性相同，所以的单调性与的相同.