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二项分布与超几何分布辨析

马关县民族职业高级中学 杨平荣

摘要：二项分布与超几何分布是中学数学研究的两种分布类型，本文通过对两种分布的定义辨析入手，重点研究了超几何分布与二项分布的区别与联系，通过实例分析了两种分布类型的适用范围，理清了导致混淆的根源。

关键词：超几何分布、二项分布、辨析、区别与联系。

正文：在人教版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.1节和2.2节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布(hyper-geometric distribution)与二项分布（binomial distribution）。通过实例，让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点，从而建立新的模型，并能运用两模型解决一些实际问题。然而在教学过程中，却发现学生不能准确地辨别所要解决的问题是属于超几何分布还是二项分布，学生对这两模型的定义不能很好的理解，一遇到含“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析， 随便滥用公式。事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。

一、概念辨析

二项分布：课本定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则PX=k=Cnkpk(1-p)n-k

超几何分布：课本定义：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=CMk?CN-Mn-kCNn,k=0,1,2?m.其中m=minM,n，且n≤N，M≤N,n

二、超几何分布和二项分布的联系

把超几何分布中的MN

则两者的期望均为EX=np,也就是两者的期望是一致的。

二项分布的方差为DX=np(1-p),而超几何分布的方差为DX=np(1-p)N-n

可以看出，对于相同的N和n,超几何分布的方差是二项分布的方差的N-nN-1倍，当N→+∞时，N-n