全国高中数学联赛.docx

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2010年全国高中数学联赛

一 试

一、 填空题(每小题 8分，共64分，)

函数f (x) x 5 、24 3x的值域是 . TOC \o "1-5" \h \z 已知函数y (a cos2 x 3) sinx的最小值为 3，则实数a的取值范围是 」

双曲线x2 y2 1的右半支与直线x 100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标

均为整数的点)的个数是 .

已知｛an｝是公差不为0的等差数列，｛bn｝是等比数列，其中

a1 3,b1 1,a2 b2,3as 6，且存在常数 ,使得对每一个正整数 n都有an log bn ，

则 ___

函数f(x) a2x 3ax 2(a 0,a 1)在区间x [ 1,1]上的最大值为8,则它在这个区

间上的最小值是 .

两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6者为胜，否则轮

由另一人投掷?先投掷人的获胜概率是 .

正三棱柱ABC ABQ1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B Af B1 ,

贝H sin .

方程x y z 2010满足x y z的正整数解(x, y, z)的个数是 .

二、 解答题(本题满分 56分)

(16 分)已知函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)，当 0 x 1 时，f (x) 1，试求

a的最大值.

10. ( 20分)已知抛物线y26x上的两个动点A(X1,yJ和B(X2,y2

10. ( 20分)已知抛物线y2

x1 x

x1 x2

4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C ,求

ABC面积的最大值

3

11. (20分)证明：方程2x 5x 2 0恰有一个实数根r,且存在唯一的严格递增正整数数

2

列｛an｝，使得2八八八

1. （ 40分）如图，锐角三角形 ABC的外心为 O, K是