高考数学第二轮复习数列典型例题1.pdf

a

1 已知数列 { a } 的前 n 项和 S 满足： S (a 1) （a 为常数，且 a 0,a 1 ）． n n n n a 1 （Ⅰ）求{ an} 的通项公式； 2Sn （Ⅱ）设bn 1 ，若数列 { bn} 为等比数列，求 a 的值； an 1 1 （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设 c ，数列 { } n n cn 的前 n 项和为 T 1 an 1 an 1

求证： T 2n 1 ． n 3 a

解：（Ⅰ） S (a 1), ∴ a a, 1 1 1 a－1 a a

当 n 2 时， a S S a a , n n n 1 n n 1 a 1 a 1 an n 1 n a ，即 { a } 是等比数列． ∴ a a a a ； n n an 1 a n 2 (a 1) n （Ⅱ）由（Ⅰ）知， b a 1 1 (3a 1)a 2a ，若 { b } 为等比数列， n n n n a a (a 1) 2 2 3a 2 3a 2a 2 则有 b b b , 而 b 3,b , b , 2 1 3 1 2 3 2 a a 2 3a 2 2 3a 2a 2 1 故 ( ) 3 2 ，解得 a ， a a 3 1 n 再将 a 代入得 b 3 成立， n 3 1 所以 a ． 3 n n 1 1 n 1 1 3 3 （III ）证明：由（Ⅱ）知 an ( ) ，所以 cn n n 1 3 1 n 1 n 1 3 1 3 1 1 ( ) 1 ( ) 3 3 n n 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 n n 1 n n 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 ( n n 1 ) ， 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 得 n n , n 1 n 1 n n 1 n n 1 , 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 1