空间曲线的曲率挠率.pptx

§12 曲率、挠率;定义：如果曲线的参数表示式

或 是 阶连续可微的函数，则把这类曲线称

为 类曲线。当 时, 类曲线又称为光滑

曲线。;自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能

否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定

的这就是以弧长s为参数（自然参数） 对于光滑曲线

1、 的参数是自然参数的充要条件是

2、弧长参数优越性：

3、弧长作参数是可以做到的：由于 则s(t)是t的严格单调函数，存在反函数t=t(s), 代入有

4、对于;例：圆的参数化为 r(t) ? (a cost , a sint ) , t?R ，其中常数 a > 0 , 试将参数化为自然参数。;

给出 类曲线 得一单位向量 ， 称 为 曲线（C）上 P 点的单位切向量。 称 为曲线在 P 点的主法向量, 它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的次法向量。

把两两正交的单位向量 称为

曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。 ;3)由任意两个基本向量所确定的平面 分别叫做:

密切平面：

法平面：

从切平面：

而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。;

定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。; 密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有

因为向量 和 都在平面 上，所以它们的

线性组合 也在平面 上。

两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此

由于 ,这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。

密切平面方程为 ; 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，

则上式表示为

如果曲线用一般参数t 表示，则将上式中的撇改成点。 ;3.空间曲线的曲率，挠率;例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .;;例： ?空间曲线， 为直线的充要条件是曲率