含参变量有限积分的计算.docx

课程论文

题 目

学生 毛文龙

所在院系 理学院

指导教师 职 称

完成日期

2011年6月20日

含参变量有限积分的计算

引言

含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习 中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、 含参变量积分函数的相 关计算（极限、求导）等等。

、定义及性质

、定义及性质

积分限固定的情形

定义 设二元函数f x,u在矩形域R a x b, x 有定义，

b

u ,，一元函数f x,u在a,b可积，即积分 f x,u dx存在。u , 都 a

对应唯一一个确定的积分（值） f x,u dx。于是，积分 f x,u dx是定义在区

a ab

间，的函数，表为 u fx,udx，称为含参变量的有限积分，u称为参变 a

量。

性质1（连续性） 设函数f x,u在矩形域R a x b, x 连续，则函

数 u " f x,u dx在区间，也连续。

a

这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可

交换的。即对任意u0b

交换的。即对任意u0

b

，lim

u u0 a

x,u dx

b

lim f x,u dx。

a u u0

上连续，则含参变量的同理可证，若f x,u在矩形域R a x b, x

上连续，则含参变量的

d

积分 u fu,ydy也在区间，上连续

c

性质2（可微性）若函数f x,u及其偏导数丄

性质2（可微性）

若函数f x,u及其偏导数丄在矩形区域

u

Rax b， u

上连续，则函数 u

b 、

f x,u dx在区间 a

可导，且

du

说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换 顺序的。（积分号下求导定理）

性质3（可积性）若函数f x,u在矩形区域Rax b， u 连续，则

b

u f

a

f x, u dx在区间， 上可积，且

b b