中值定理构造辅助函数.docx

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中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造

1 原函数法

此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数．

例1：证明柯西中值定理．

分析：在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数．

例2：若,,,…,是使得的实数．证明方程在（0，1）内至少有一实根．

证：由于

并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设

（取），则

1）在[0，1]上连续

2）在（0，1）内可导

3）=0，

故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即．

这说明方程在（0，1）内至少有实根． 2 积分法

对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数． 例3：设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，，．证明存在使．

分析：结论变形为，不易凑成．我们将换为，结论变形为，积分得：，即，从而可设辅助函数为，有．本题获证．

例4：设函数，在上连续，在内可微，．证明存在，使得：．

证：将变形为，将换为，则，两边关于积分，得： ，所以，其中，由可得．由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的．因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．

3 几何直观法

此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．

例5：证明拉格朗日中值定理．