文档介绍
利用两平面垂直的条件解题的案例分析 例1 如图1，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°. (Ⅰ)若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积. (Ⅱ)若二面角C-AB-D的大小为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值. 解 (Ⅰ)设E为AC的中点，由于AD=CD，所以DE⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，可知DE⊥平面ABC，即DE是四面体ABCD的面ABC上的高，且DE =AD·sin 30°=1，AE= AD·cos 30°= . 在Rt△ABC中，由于AC=2AE=2 ，AB=2BC，所以由勾股定理知BC= ，AB= . 故V四面体ABCD = ·S△ABC·DE= × × × ×1= . (Ⅱ)设G，H分别为边CD，BD的.中点，则EG∥AD，GH∥BC，从而∠EGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角. 设F为边AB的中点，则EF∥BC.由AB⊥BC，可知EF⊥AB.由(Ⅰ)可知DE⊥平面ABC，故由三垂线定理知DF⊥AB.所以∠DFE为二面角C-AB-D的平面角.由题设可知∠DFE=60°. 设AD=a，则DE= AD·sin∠CAD= . 在Rt△DEF中，EF= = = ，从而GH= BC=EF= . 由于Rt△ADF ≌Rt△BDF，所以BD=AD=a.从而在Rt△BDE中，EH= BD = .又EG= AD = ，从而在△EGH中，EG=EH，于是由余弦定理得cos∠EGH= = = . 故异面直线AD与BC所成角的余弦值为 . 小结 面对两个相互垂直的平面，我们可以联想其性质定理，恰当作出平面的垂线，这样通常能够简化解题过程. 例2 如图2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合. (Ⅰ)当CF =1时，求证:EF⊥A1C. (Ⅱ)设