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数列难题突破之裂项与放缩

数列难题突破之裂项与放缩

裂项与放缩是高考数列题常用技巧

主要有以下3类应用

1．裂项法求和

2．裂项、放缩证明求和不等式

3．放缩证明连乘不等式

裂项法求和

一个最简单的裂项求和的例子

【例1】

已知等差数列 满足：设求的前 项和.

【例2】

设数列为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的，有

裂项法求和小结回顾：

裂项、放缩法证明求和不等式

【例3】

证明：【例4】

已知数列与满足

且，设求证：

和式不等式小结回顾：

放缩去“凑”裂项形式

★

连乘不等式的证明

【例5】

求证：

【例6】

等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数（且均为常数）的图像上.

(II)当时，记

求证：

总结：

1．裂项求和： ★

2．求和不等式：放缩à可裂项

3．连乘不等式： ·配上“错一位”的连乘式à可消去 ·选择“错位”方向课后作业

【习题1】求和

【习题2】求证:.

【习题3】求证：.

分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”的连乘式.

答 案

【习题1】

解：

【习题2】

分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩.

证：

【习题3】

解：设，，，则，由知，只需证就有成立。只需要证明对任意，连乘式中的第项大于和的第项，只需要证:此不等式的每项减去1，即，显然成立，故原不等式成立。