2021年中考数学复习讲义：第四章 全等三角形 模型（十五）——雨伞模型.doc

第四章.全等三角形 模型（十五）——雨伞模型 模型讲解 模型讲解 【条件】AP是∠BAC的平分线，BO⊥AP 【结论】①△ABO≌△ADO，②AB=AD，③OB=OD 【证明】 角平分线 角平分线+垂线， 轻轻延长等腰现。 口诀 口诀 典例秒杀 典例秒杀 典例1 ☆☆☆☆☆ 已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90o，∠ACB的平分线CD交AB于点E， ∠BDC=90o，求证：CE=2BD． 【解析】如图，延长 BD交CA 的延长线于点F， ∵∠BAC=90°, ∴∠BAF=∠BAC= 90o， ∴∠ACE+∠AEC=90°，∵∠BDC=90°,∴∠ABF＋∠BED=90° ∵∠AEC=∠BED, ∴∠ACE=∠ABF. 又∵AB=AC，∴△ACE≌△ABF（ASA）， ∴CE=BF. ∵CD是∠ACB的平分线，∠BDC=90°， ∴∠FCD=∠BCD，∠CDF=∠CDB=90°.又∵CD=CD， ∴△CDF≌△CDB（ASA），∴BD=FD=BF ∴BD=CE，即 CE=2BD. 典例2 ☆☆☆☆☆ 如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为 D， 求证∶∠2=∠1+∠C. 【解析】如图，延长 AD 交 BC 于点F. ∵BE 是∠ABC 的平分线，AD⊥BE， ∴AB=FB, ∴∠2=∠AFB. ∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C. 典例3 ☆☆☆☆☆ 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）， B（0，b）两点，且a，b满足（a-b）2＋∣a一4t∣=0，且 t＞0，t是常数，直线 BD 平分∠OBA，交x 轴于点D. ⑴若 AB的中点为M，连接 OM交BD 于点N，求证∶ON=OD; ⑵如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想. 【解析】（1）∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0），B（0，b）两点， b满足（a-b）2十∣a-4t∣=0，且t＞0， ∴a=b=4t，∴点 A，B的坐标是A（4t，0），B（0，4t）， ∴△AOB 是等腰直角三角形.∵M是AB 的中点，∴OM⊥AB. ∵直线 BD平分∠OBA，∴∠ABD=∠ABO=22.5°, ∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°, ∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°＋45°=67.5°, ∴∠OND=∠ODB，∴ON=OD（等角对等边）. BD=2AE.理由如下∶如图，延长 AE交 BO 于点C. ∵BD平分∠OBA，∴∠ABD=∠CBD. ∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB=∠CEB=90°. 在△ABE 和△CBE中， ∠ABD=∠CBD, BE=BE, ∠CEB=∠AEB=90°, ∴△ABE≌△CBE(ASA), ∴AE=CE,∴AC=2AE. ∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE=90°， 又∠OBD+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO， ∴∠OAC=∠OBD. 在△OAC与△OBD中，∠OAC=∠OBD， OA=OB, ∠AOC=∠BOD, ∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD=AC.∴BD=2AE. 小试牛刀 小试牛刀 1.（★★★☆☆）如图，△ABC的面积为9 cm2，BP平分∠ABC， AP⊥BP 于点P，连接 PC，则△PBC的面积为（ ） A.3 cm2 B.4 cm2 C.4.5 cm2 D.5 cm2 2.（★★★☆☆）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若 BD=1，BC=3，则 AC的长为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 3.（★★★★☆）如图，在△ABC中，D为边 BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且 BF= DE. （1）求证∶四边形 BDEF 是平行四边形. （2）线段 AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论。 直击中考 直击中考 如图所示，△ABC的面积为10cm2，BP 平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连 接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为_＿＿＿＿。 在中考考试中 ，雨伞模型是一类特点非常鲜明约几何题，做这突题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型， 只