专题13不等式B辑（解析版）-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）.docx

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备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题13不等式B辑

历年联赛真题汇编

1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设正实数a,b,c满足a2+4b+9c2=4b+12c-2

【答案】6

【解析】由题设条件得a2

由柯西不等式可得：3[a

即(a+2b+3c-3)2≤9,故

又由柯西不等式得

(1

所以1a

当a=b=c=1时等号成立.

故1a+2b+3c的最小值是6.

2．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设k、m为实数，不等式x2-kx-m?1对所有x∈[

【答案】证明见解析

【解析】令f(x)=x2－kx－m，x∈[a，b]则f(x)∈[－1，1].于是

f(a)=a2-ka-m?1

f(b)=b2-kb-m?1

fa+b2=a+b

由①+②－2×③知，(a-b)22=f(a)+f(b)-2fa+b2?4，故b-a?22.

3．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设

【答案】最小值为1；最大值为95

【解析】由柯西不等式

x

?

=x

当x1=1,

因为x

?

?1

当x1=12,x2=0,x3=12时不等式等号成立，故欲求的最大值为95.

4．【2017高中数学联赛B卷（第

【答案】3<a<5.

【解析】设t=2x，则t∈[2，4]，于是|t-a|<|5-t|对所有t∈[2，4]

由于|t-a|<|5-t|?

?(2t-a-5)(5-a)<0.

对给定实数a，设f(t)=(2t－a－5)(5－a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数.

注意t∈[2，4]，因此f(t)<0等价于f(2)=(-1-a)(5-a)<0f(4)=(3-a)(5-a)<0

解得3<a<5.

所以实数a的取值范围是3<a<5.