专题13不等式B辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020).docx

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文档介绍

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备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

专题13不等式B辑

历年联赛真题汇编

1.【2020高中数学联赛B卷(第01试)】设正实数a,b,c满足a2+4b+9c2=4b+12c-2

【答案】6

【解析】由题设条件得a2

由柯西不等式可得:3[a

即(a+2b+3c-3)2≤9,故

又由柯西不等式得

(1

所以1a

当a=b=c=1时等号成立.

故1a+2b+3c的最小值是6.

2.【2017高中数学联赛A卷(第01试)】设k、m为实数,不等式x2-kx-m?1对所有x∈[

【答案】证明见解析

【解析】令f(x)=x2-kx-m,x∈[a,b]则f(x)∈[-1,1].于是

f(a)=a2-ka-m?1

f(b)=b2-kb-m?1

fa+b2=a+b

由①+②-2×③知,(a-b)22=f(a)+f(b)-2fa+b2?4,故b-a?22.

3.【2017高中数学联赛A卷(第01试)】设

【答案】最小值为1;最大值为95

【解析】由柯西不等式

x

?

=x

当x1=1,

因为x

?

?1

当x1=12,x2=0,x3=12时不等式等号成立,故欲求的最大值为95.

4.【2017高中数学联赛B卷(第

【答案】3<a<5.

【解析】设t=2x,则t∈[2,4],于是|t-a|<|5-t|对所有t∈[2,4]

由于|t-a|<|5-t|?

?(2t-a-5)(5-a)<0.

对给定实数a,设f(t)=(2t-a-5)(5-a),则f(t)是关于t的一次函数或常值函数.

注意t∈[2,4],因此f(t)<0等价于f(2)=(-1-a)(5-a)<0f(4)=(3-a)(5-a)<0

解得3<a<5.

所以实数a的取值范围是3<a<5.

5.【2015高

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