数学高考第18题例题及解析.docx

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18．（12分）

如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕

把 折起，使点 到达点 的位置，且 .

（1）证明：平面 平面 ；

（2）求 与平面 所成角的正弦值.

【答案】解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.

又 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所

示的空间直角坐标系 H-xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，

故PE⊥PF.

可得 .

则 为平面

ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为 ，则 .

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .

第18题

18．（12



分）如图，在四棱锥



中，四边形



为正方形，



平

面



，



， 是



上一点，且



．

（1）求证：

（2）求直线



平面

与平面



；

所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2） ．

【解析】（1）连接 ，由 平面

又 ， ，∴ 平面

又 ， ，∴ 平面



，

，得

．



平面



，



得



，

（2）法

1：由（1）知

平面

，即

是直线

与平面

所成

角，易证

，而

，

不妨设

，则

，

，

，

在

中，由射影定理得

，

可得

，所以

，

故直线

与平面

所成角的正弦值为．

法2：取

为原点，直线

，

，

分别为

，，轴，建立坐标系

，

不妨设

，则

，

，

，

由（1）知平面

得法向量

，而

，

∴

，

故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．

【命中试题二】 2018年全国统一考试最新高考信息卷（七） 第19题

19．（12分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，