专题22复数B辑（解析版）-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）.docx

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备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题22复数B辑

历年联赛真题汇编

1．【1999高中数学联赛（第01试）】已知θ=arctan512，那么，复数z=cos2θ+

【答案】π

【解析】z的辐角主值

argz=arg(12+5i)2(239-i)=arg[(119+120i)(239-i)]=arg[28561+28561i]=π4.

2．【1998高中数学联赛（第01试）】设复数z=cosθ+isinθ0°?θ?180°，复数z，(1+i

【答案】3

【解析】令复数ω对应于点S.由于QPRS为平行四边形，

有ω+z=2z+(1+i)z

所以|ω|

(当=135°时，等号成立).

故|ω|max=3.

3．【1997高中数学联赛（第01试）】已知复数z满足2z+1z=1，则

【答案】kπ+π2-

【解析】设z=r(cos

则2z+1z2

这个等式成立等价于二次方程4x2+(4cos

等价于判别式Δ=(4cos2θ-1)2-

等价于cos2θ?-

等价于2kπ+π-arccos

等价于kπ+π2-12arccos34?θ?kπ+π2+12arccos34，(k=0,1).

4．【1996高中数学联赛（第01试）】复平面上非零复数z1，z2在以

【答案】-

【解析】z1z2的实部是0，那么argz1z2

由于z2在指定圆上，辐角不能大于.所以argz

如图，∠O1Oz2=30°，易知Oz

所以z2=3cos2π3+isin2π3=-32+32i.

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【答案】2

【解析】设α=a+bi

则由|α-β|=23得|b|=

又由αβ2=α3(αβ)

即(a+bi)3

于是得|a|=1.所以|α|=a2+b2=2.

6．【1993高中数学联赛（第01试）】二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+(1+i