《概率论：大数定律与中心极限定理》课件.ppt

* 定 理 二 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ] (De Moivre-Laplace) 2. 当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。 定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有 Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 例1：设一批产品的强度服从期望为14, 方差为4的分布。每箱中装有这种产品100件。求 (1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率； (2).每箱产品的平均强度超过期望14的概率。 解：n=100,设 Xi 是第 i 件产品的强度，则 E(Xi)=14, Var(Xi)=4, i =1,2,…,100。 每箱产品的平均强度为 根据定理1，有 μ σ2/n 例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试。按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。 解: 令 依题设，知 P{ Xi=1 }=0.8, np=200 ×0.8=160， np(1-p)=32，X1+X2+…+X200 是考试通过人数, 因Xi 满足棣莫佛 — 拉普拉斯定理的条件，故依此定理，近似地有 于是 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 应用1 由题给条件知,诸Xi独立, 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100,D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y>1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(Y>1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 应用2. (供电问题) 某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少电力能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 用X表示在某时刻工作着的车床数， 解： 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N千瓦电力， 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 查正态分布函数表得 由 ≥0.999， 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 应用3 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. （1）至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11间的概率至少是0.95? (2) 计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率. 设应取球n次，0出现频率为： 求n的大小？ 用X表示出现“0”的次数， X~B(n,0.1), 欲使 即 查表得 从中解得 即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95. (2) 用中心极限定理计算在100次抽取中, 数码“0”出现次数在7和13之间的概率. 用X表示出现“0”的次数， X~B(100,0.1), X~N(10,9), X近似服从正态分布， =0.6826 即在100次抽取中，数码“0”出现次数在 7和13之间的概率为0.6826. =0.6826 四、小结 中 心 极 限 定 理 注 这一节我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. 五、 布置作业 1，2，6，7，9 * * * * * * * * * * 我们介绍均值法，步骤是 1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N n=1,2,…,N 即 3) 用平均值近似积分值 求 的值 因此，当N充分大时， 原理是什么呢？ 设X~U(0, 1) 由大数定律 这一讲我们介绍了大数定律 大数定