和与差的对数公式.doc

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和与差的对数公式的推导证明

张先胜

重庆市合川区农委，重庆市合川区（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘 要：本文推导证明了和与差的对数公式，丰富了对数公式体系。

关键词：和 差 对数 公式

中图分类号：O122.6

1.引 言

对数产生于十七世纪前二十五年。对数方法是苏格兰的皮纳尔独立决发现的，在其对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，布里格斯继承纳皮尔的未竟事业，发表了《奇妙对数规则的结构》详细阐述了对数计算和造对数表的方法。十八世纪，欧拉发现了指数与对数的本质联系。

经典对数理论已发现系列对数公式，幂积商等对数公式发现已久，但没有查询到和与差的对数公式。本文运用对数理论，推导证明了和与差的对数公式。

2. 和的对数公式推导证明

设log a M = p ，log a N = q ，(a>0,a≠1)，

由对数的定义 M = ap， N = aq 则

M＋N= a p + a q ,

那么 Log a（M+N）= Log a（a p + a q ）

根据ax = a log a ax

所以

Log a（M+N）= Log a（a p + a q ） a p a q

= Log a（aloga + aloga ） 将M = ap， N = aq 代入，得

Log a（M+N）= Log a（a p + a q ） a p a q

= Log a（aloga + aloga ）

= Log a（alogaM+alogaN）

即分别用M、N的以a为底对数——Log a M、LogaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。

3．差的对数公式推导证明

设log a M = p ，log a N = q ，(a>0,a≠1)，

由对数的定义 M = ap， N = aq 则