2021届新高考数学艺考生百日冲刺专题35二项式定理(原卷版).docx
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PAGE1 / NUMPAGES1 专题35 二项式定理
1. 二项式定理
公式:(a+b)n=Ceq \o\al(0,n)an+Ceq \o\al(1,n)an-1b+…+Ceq \o\al(k,n)an-kbk+…+Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*)
这个公式表示的定理叫做二项式定理.在上式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数Ceq \o\al(k,n)(k=0,1,…,n)叫做二项式系数,式中的Ceq \o\al(k,n)an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=Ceq \o\al(k,n)an-kbk.
2. 二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂_排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从Ceq \o\al(0,n),Ceq \o\al(1,n),一直到Ceq \o\al(n-1,n),Ceq \o\al(n,n).
3. “杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律:左右两边斜行都是1,其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
(2)对称性:在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Ceq \o\al(m,n)=Ceq \o\al(n-m,n).
(3)增减性与最大值:二项式系数Ceq \o\al(k,n),当k<eq \f(n+1,2)时,二项式系数逐渐增大;
当k>eq \f(n+1,2)时,二项式系数逐渐减小.当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(4)各二项式系数的和:(a+b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n,即Ceq \o\al(0,n)+Ceq \o\al(1