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一元二次方程根与系数的关系-韦达定理

一）、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程，用配方法将其变形为：

(1) 当 时，有两个不相等的实数根：

(2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：

(3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，记作: 表示为：

【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3)

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．

二）、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以： ， = = 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．定理的前提条件是

【例3】 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

【例4】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

*【例5】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。

【变式】为何值时，的两根均为正？

作业：

1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D．

2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D．

4．若实数，且满足，则的值为