3-1隐形圆问题—读者版.docx

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 隐圆 专题1 隐形圆问题

有关平面解析几何专题，无论是椭圆还是抛物线，我们已经归纳总结了多种秒杀方法，并在秒1和秒2中已经对其进行破解。随着高考改革的深入，传统的椭圆和抛物线的题目难度开始下降，平面解析几何的考察形式也开始变得多种多样，直线与圆的地位大幅度提升，甚至有“代替”圆锥曲线解答题的意思，带有文化背景的题目也层出不穷，“向量圆”、“阿波罗尼斯圆”等“隐形圆”问题也开始出现在各地市的模拟题中，无论是平面向量小题还是平面解析几何大题，“隐形圆”的出现，都会给大家制造不少麻烦。本专题我们来解密高考中的“隐形圆”问题。 向量极化恒等式推出的隐圆

1.极化恒等式向量乘积型：

定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆

证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆.

【例1】（2017?江苏）在平面直角坐标系中，，，点在圆O：上，若，则的横坐标范围是 .

【例2】（2017?丹阳期中）已知,，在上，若满足的有个，则的取值范围是 .

极化恒等式和型：.

定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆..

证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆.

【例3】（2018?江苏二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若上存在点满足，求纵坐标的取值范围.

【例4】（2019?惠山期末）已知在中，,所在平面内存在点，使得，则面积的最大值为 .

例5.（2019?开福区校级期末）已知点，，直线上存在点，使得成立，则实数的取值范围是　　．

（2018?扬州期中）已知，，圆，若圆上存在唯一的

点，使得成立，则实数的取值集合为　 　．

第二讲 由垂直推出的隐圆

1.（在以为直径的圆上）或者（以为直径的圆上，但挖去两点）

设AB的中点为M，则P点的轨迹是以M为圆心，为半径的圆