空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(2).教师版普通高中数学复习讲义Word版.docx

板块五 .用空间向量解柱体问

题(2)

典例分析

【例 1】 如图，直三棱柱

ABC A1B1C1 中， AC

BC ，AA1

AB ，D 为 BB1 的中点， E 为 AB1

上的一点， AE

3EB1 ．

C

C1

B D

B1

E

A

A1

⑴ 证明： DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线；

⑵ 设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45 ，求二面角 A1 AC1 B1 的大小．

【考点】利用空间向量解柱体问题

【难度】 4 星

【题型】解答

【关键字】 2010 年，全国高考

【解析】 解法一

C

C1

K

B

D

H

B1

G

E

A

F

A1

⑴ 连结 A1 B ，记 A1B 与 AB1 的交点为 F ．因为面 AA1 B1 B 为正方形．故 A1 B

AB1 ，

且 AF

FB1 ，又 AE

3 EB1 ，所以 FE

EB1 ，又 D 为 BB1 的中点，故 DE ∥ BF ，

DE

AB1 ．

作 CG

AB ，

G 为垂足，由 AC

BC知， G为 AB中点．

又由底面 ABC

面 AA1 B1B ，得 CG

面 AA1B1B ．

连结 DG ，则 DG ∥ AB1 ．故 DE

DG ，由三垂线定理，得 DE CD ．

所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线．

⑵因为 DG ∥ AB1，故

CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角，

CDG

45 ，

设 AB

2 ．得 AB1

2

2

， DG

2

， CG

2

， AC

3

作BH AC

1 ， H 为垂足， 因为底面

A B C

面

AACC

，故

B H

面

AAC C

．又

1

1

1 1 1

1 1

1

1 1

作 KH

AC1 ， K 为垂足．连结

B1K ，由三垂线定理，得

B1K

AC1 ，

因此

B1KH 为二面角 A1

AC1

B1 的平面角．

2

A1B1