专题28 与圆有关的证明及计算巩固集训（解析版）.doc

与圆有关的证明及计算巩固集训

类型一　与基本性质有关的证明及计算

1. 如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.

(1)求⊙O的半径；

(2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将eq \o(CE,\s\up8(︵))沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．

第1题图

【答案】解：(1)如解图，连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，

∴AG＝eq \f(1,2)AB＝4 .

依题意，设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，

在Rt△AGO中，由勾股定理可得(3k)2＋42＝(5k)2，

解得k＝－1(负值舍去)或k＝1.

∴⊙O的半径为5.

(2)如解图，将阴影部分沿弦CE翻折，点F的对应点为M.

∵∠ECD＝15°，由对称性可知：∠DCM＝30°，

S阴影＝S弓形CBM，连接OM，

∴∠MOD＝60°，

∴∠MOC＝120°.

过M作MN⊥CD于点N，在Rt△MON中，

MN＝MO·sin60°＝eq \f(5\r(3),2) ，

S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝eq \f(1,3)π×52－eq \f(1,2)×5×eq \f(5\r(3),2)＝eq \f(25,3)π－eq \f(25\r(3),4).

2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.

(1)求证：∠DAC＝∠DBA;

(2)连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．

第2题图

【答案】(1) 证明：∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD＝∠DBA，

∵∠DAC＝∠CBD，

∴∠DAC＝∠DBA.

第2题解图

(2) 解：如解图，连接CD，

∵∠CBD＝∠DBA，

∴CD＝AD，

∵CD＝3，

∴AD＝3，

∵∠ADB＝90°，BD＝4，