抛物线的焦点弦性质及其证明过程.doc

抛物线的焦点弦 _经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线 (p>0) 的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A、B 两点

结论 1：

AB AF BF (x1

p

p

) ( x2

) x1 x2 p

2

2

结论 2：若直线 L 的倾斜角为，则弦长

: (1) 若 时, 直线 L 的斜率不存在，此时 AB为抛物线的通径 ,

(2) 若时 , 设直线 L 的方程为：即 代入抛物线方程得由 xx 定理

由弦长公式得

结论 3： 过焦点的弦中通径长最小

的最小值为 , 即过焦点的弦长中通径长最短 .

抛物线的焦点弦 _经典性质及其证明过程

结论 4：

S OAB

S OBF

S 0 AF

1

OF

BF

s i n

1 OF

AF

s i n

2

2

p 2

1

AF

BF

s i n

1

OF

AB

1

p

2 p

OF

2

s i n

2

s i n

2

2 2

s i n

2 s i n

S2

OAB

P3

AB

8

结论 5： (1) (2) x1x2=

证

结论 6：以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设 M为 AB的中点，过 A 点作准线的垂线 AA1， 过 B 点作准线的垂线

过 M点作准线的垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

故结论得证

结论 7：连接 A、B 则 AB

AA1 AF , AA1F AFA1 AA1 // OF AA1F A1 FO A1 FO A1 FA

同理 AB

结论 8：（ 1）AM1BM1（2）MAB （3）

抛物线的焦点弦 _经典性质及其证明过程

（4）设 AM1 与 A 相交于 H ，M1B与 FB1 相交于 Q 则 M1，Q，F ，H四点共圆

（5）

证：由结论（ 6）知 M1 在以 AB为直径的圆上 AM1BM1

为直角三角形， M1 是斜边 A1 B1 的中点