中考数学复习指导:中位线定理在几何证明中的应用.docx
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中考数学复习指导:中位线定理在几何证明中的应用

中位线定理在几何证明中的应用

三角形 (梯形 ) 中位线定理在初中平面几 何中是一个很重要的定理, 运用定理结论中的位置关系和数量关系,往往能证明许多有关问题.现举例谈谈它在几何证明中的应用.

一、证明线段相等或倍分关系

例 1 求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等.

已知:如图 1,梯形. ABCD 中, AB∥ DC , BC⊥ AB, E 为 AD 中点.求证: EC=EB .

分析 要 证 EC=EB ,由 E 为 AD 中点想到梯形的中位线, 可取 BC 的中点 G,连结 EG,

则 EG 为梯形中位线, 根据中位线定理可得 EG∥ AB∥ CD ,再根据 BC⊥ AB,可得 EG⊥ BC,进而证明△ BEG≌△ CEG,可得对应边 EC=EB .

2

已知:如图

,在△

ABC

中,∠∠

C

A

D⊥

BC

M

BC

的中点.

2

B=2

1

求证 :DM = AB.

2

分析

要证 DM=

1

1

AB 的线段相等,为此取

AC 的中点

AB ,可设法证明

DM 与等于

2

2

N,连 MN,则 MN 为△ ABC 的中位线,根据中位线定理得

1

AB.

MN ∥AB,MN =

2

要证 DM=MN ,可连结 DN ,由已知条件可知 DN 是 Rt△ADC 斜边 AC 上的中线,

DN=NC ,∠ NDM =∠ C.

又 MN∥ AB,得∠ NMC=∠ B=2∠ C, ∴ ∠ MND =∠ NMC-∠ NDM

=2∠ C-∠ C=∠ C.

∴ ∠ MND =∠ C=∠NDM ,

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中考数学复习指导:中位线定理在几何证明中的应用

1

得 DM=MN=AB.

2

二、证明线段和或差关系

例 3 已知:如图 3,正方形 ABCD 中, E 为 CD 上的一点, F 为 BC 的中点
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