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中考数学复习指导：中位线定理在几何证明中的应用

中位线定理在几何证明中的应用

三角形 (梯形 ) 中位线定理在初中平面几 何中是一个很重要的定理， 运用定理结论中的位置关系和数量关系，往往能证明许多有关问题．现举例谈谈它在几何证明中的应用．

一、证明线段相等或倍分关系

例 1 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等．

已知：如图 1，梯形． ABCD 中， AB∥ DC ， BC⊥ AB， E 为 AD 中点．求证： EC=EB ．

分析 要 证 EC=EB ，由 E 为 AD 中点想到梯形的中位线， 可取 BC 的中点 G，连结 EG，

则 EG 为梯形中位线， 根据中位线定理可得 EG∥ AB∥ CD ，再根据 BC⊥ AB，可得 EG⊥ BC，进而证明△ BEG≌△ CEG，可得对应边 EC=EB ．

例

2

已知：如图

，在△

ABC

中，∠∠

C

，

A

D⊥

BC

，

M

是

BC

的中点．

2

B=2

1

求证 ：DM = AB．

2

分析

要证 DM=

1

1

AB 的线段相等，为此取

AC 的中点

AB ，可设法证明

DM 与等于

2

2

N，连 MN，则 MN 为△ ABC 的中位线，根据中位线定理得

1

AB．

MN ∥AB，MN =

2

要证 DM=MN ，可连结 DN ，由已知条件可知 DN 是 Rt△ADC 斜边 AC 上的中线，

DN=NC ，∠ NDM =∠ C．

又 MN∥ AB，得∠ NMC=∠ B=2∠ C， ∴ ∠ MND =∠ NMC－∠ NDM

=2∠ C－∠ C=∠ C．

∴ ∠ MND =∠ C=∠NDM ，

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1

得 DM=MN=AB．

2

二、证明线段和或差关系