2019-2020学年新高考数学选修题详解第三章 空间向量与立体几何（题型解析版）.docx

第三章 空间向量与立体几何（题型总结）题型讲解

题型讲解

题型一 长度

【例1】（2019·江苏高三月考）如图，在直三棱柱中，，，M，N分别是，的中点，且.

（1）求的长度；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）在中，，，

则，所以.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，，，

所以，.

因为，

所以，

解得，即的长为.

（2）由（1）知，，

由N是的中点，得.

所以，.

设平面的法向量，

由，，

得取.

又，，

设平面的法向量，

由，，

得取.

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【举一反三】

1．（2019·浙江高三学业考试）如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，E是棱BC上的动点，F是线段PE的中点．

（Ⅰ）求证：平面ADF；

（Ⅱ）若直线DE与平面ADF所成角为30°，求EC的长．

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】方法1：（Ⅰ）取棱PB，PC的中点分别为M，N，

连结AM，MN，ND，

因为，所以，

又因为平面PAB，平面PAB，

所以，且，

所以平面ADF．

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知平面AMND，在平面PBC内作，交MN于H，则平面AMND，连结DH，则就是直线DE与平面ADF所成角，即.

又因为，所以，得到．

因为，所以，

所以，故．

方法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

.

（I），

设平面ADF的法向量为，

则，从而取.

又，所以，从而平面ADF．

（Ⅱ）设直线DE与平面ADF所成角为，

由，平面ADF的法向量为，

故，解得，

所以，因此．

题型二 向量在空间几何体的运用

【例2】（2019·重庆高二月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设，，分别为，，的中点.

（1）求证:平面平面;