2019-2020学年新高考数学选修题详解第三章 空间向量与立体几何(题型解析版).docx
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第三章 空间向量与立体几何(题型总结)题型讲解

题型讲解

题型一 长度

【例1】(2019·江苏高三月考)如图,在直三棱柱中,,,M,N分别是,的中点,且.

(1)求的长度;

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)在中,,,

则,所以.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设,则,,,,,,

所以,.

因为,

所以,

解得,即的长为.

(2)由(1)知,,

由N是的中点,得.

所以,.

设平面的法向量,

由,,

得取.

又,,

设平面的法向量,

由,,

得取.

设平面与平面所成锐二面角的大小为,

则.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【举一反三】

1.(2019·浙江高三学业考试)如图,四棱锥中,平面ABCD,四边形ABCD是矩形,且,,E是棱BC上的动点,F是线段PE的中点.

(Ⅰ)求证:平面ADF;

(Ⅱ)若直线DE与平面ADF所成角为30°,求EC的长.

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)

【解析】方法1:(Ⅰ)取棱PB,PC的中点分别为M,N,

连结AM,MN,ND,

因为,所以,

又因为平面PAB,平面PAB,

所以,且,

所以平面ADF.

(Ⅱ)方法1:由(Ⅰ)知平面AMND,在平面PBC内作,交MN于H,则平面AMND,连结DH,则就是直线DE与平面ADF所成角,即.

又因为,所以,得到.

因为,所以,

所以,故.

方法2:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,

则,

.

(I),

设平面ADF的法向量为,

则,从而取.

又,所以,从而平面ADF.

(Ⅱ)设直线DE与平面ADF所成角为,

由,平面ADF的法向量为,

故,解得,

所以,因此.

题型二 向量在空间几何体的运用

【例2】(2019·重庆高二月考)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面,且,设,,分别为,,的中点.

(1)求证:平面平面;

(2)求直线与平面所
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