2019-2020学年新高考数学选修题详解4.3 生活中的优化问题举例(解析版).docx
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4.3生活中的优化问题 【例1】(2019·山东高二期末)传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器,“如意金箍棒”威力巨大,且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时,都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕,并降伏了此妖怪,此时“如意金箍棒”的底面半径为10,长度为.在此基础上,孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短,同时长度以每秒40匀速增长,且在这一变化过程中,当“如意金箍棒”的底面半径为8时,其体积最大.

(1)求在这一变化过程中,“如意金箍棒”的体积随时间(秒)变化的解析式,并求出其定义域;

(2)假设在这一变化过程中,孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时,将其定型,准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。

【答案】(1) ,定义域为 ;(2)4

【解析】(1)“如意金箍棒”在变化到秒时,其底面半径为,长度为

则有,得:

时,(秒),由知,当时,取得极大值

所以,解得()

所以,定义域为

(2)由(1)得:

所以当时,,当时,

所以在区间上为增函数,在区间上为减函数

则的最小值或;

所以当(秒)时,“如意金箍棒”体积最小,

此时,“如意金箍棒”的底面半径为()

【例2】(2019·湖南省邵东县第一中学高二期末(理))某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10

(1)求a的值;

(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大利润.

【答案】(1)6(2)x=4,46

【解析】(1)因为x=5时,y=13,所以a2+10=13,故

(2)由(Ⅰ)可知,该商品每日的销售量y=

所以商场每日销售该商品所获得
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