2019-2020学年新高考数学选修题详解4.3 生活中的优化问题举例（解析版）.docx

4.3生活中的优化问题 【例1】（2019·山东高二期末）传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“如意金箍棒”的底面半径为10，长度为.在此基础上，孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短，同时长度以每秒40匀速增长，且在这一变化过程中，当“如意金箍棒”的底面半径为8时，其体积最大.

（1）求在这一变化过程中，“如意金箍棒”的体积随时间（秒）变化的解析式，并求出其定义域；

（2）假设在这一变化过程中，孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时，将其定型，准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。

【答案】(1) ，定义域为 ；(2)4

【解析】（1）“如意金箍棒”在变化到秒时，其底面半径为，长度为

则有，得：

时，（秒），由知，当时，取得极大值

所以，解得（）

所以，定义域为

（2）由（1）得：

所以当时，，当时，

所以在区间上为增函数，在区间上为减函数

则的最小值或；

又

所以当（秒）时，“如意金箍棒”体积最小，

此时，“如意金箍棒”的底面半径为（）

【例2】（2019·湖南省邵东县第一中学高二期末（理））某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=ax-3+10

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）6（2）x=4,46

【解析】（1）因为x＝5时，y＝13，所以a2+10＝13，故

（2）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=