2007数学竞赛试题.doc
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- 2021-01-19 发布|
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“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案
?
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为a,b,c,d的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)
1.方程组的解的个数为( ).
(a)1 (b) 2 (c) 3 (d)4
答:(a).
解:若≥0,则于是,显然不可能.
若,则
于是,解得,进而求得.
所以,原方程组的解为只有1个解.
故选(a). 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ).
(a) 14 (b) 16 (c)18 (d)20
答:(b).
解:用枚举法:
红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2,3,4,5 3,2,1,0 4 4 3,4,5,6 3,2,1,0 4 3 4,5,6,7 3,2,1,0 4 2 5,6,7,8 3,2,1,0 4
所以,共16种.
故选(b).
3.已知△为锐角三角形,⊙经过点b,c,且与边ab,ac分别相交于点d,e. 若⊙的半径与△的外接圆的半径相等,则⊙一定经过△的( ).
(a)内心 (b)外心 (c)重心 (d)垂心
答:(b).
解: 如图,连接be,因为△为锐角三角形,所以,均为锐角.又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等,且为两圆的公共弦,所以.于是,.
(第3题答案图)
若△的外心为,则,所以,⊙一定过△的外心.
故选(b).
4.已知三个关于x的一元二次方程
,,
恰有一个公共实数根,则的值为( ).
(a) 0 (b)1 (c)2 (d)3
答:(d).
解:设是它们的一个公共实数根,则
,,.
?
把上面三个式子相加,并整理得
.
因为,所以.
于是
.
故选(d).