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一、比较法 (1) 作差比较法： 作差——变形——定符号 例 1 已知 a , b 都是实数 , 且 a ? b , 求证 a ? b ? a b ? ab 根据 a － b >0 ? a > b ，欲证 a > b 只需证 a － b >0 . 证明 : ( a ? b ) ? ( a b ? ab ) ? ( a ? a b ) ? ( ab ? b ) 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 ? a ( a ? b ) ? b ( a ? b ) ? ( a ? b )( a ? b ) 2 2 2 2 ? ( a ? b )( a ? b ) ? a , b ? 0 , ? a ? b ? 0 2 又 ? a ? b ? ( a ? b ) ? 0 故 ( a ? b )( a ? b ) ? 0 即 ( a ? b ) ? ( a b ? ab ) ? 0 2 3 3 2 2 2 ? a ? b ? a b ? ab 3 3 2 2 [ 归纳领悟 ] 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是： (1) 作差； (2) 变形； (3) 判断差的符号； (4) 下结论． 其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形 式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正 负． a 例 2 如果用 akg 白糖制出 bkg 糖溶液 , 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg 白糖 , 此时溶液的浓度 a ? m 增加到 , 将这个事实抽象为数学 问题 , 并给出证明 . b ? m 解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 : a ? m a 已知 a , b , m 都是正数 , 并 a ? b 且 , 则 ? b ? m b 下面给出证明： a ? m a m ( b ? a ) ? ? b ? m b b ( b