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清华大学 2018年领军计划测试题 注:2018领军数学试题均为不定项选择,以下题目为回忆版本,部分问题选项缺失。 均为素数，且为整数，则（ ） 中一定有一个是2 中一定有一个是3 中一定有两个数相等 也为素数 【答案】D A项：举反例：，此时； B项：举反例：，此时； C项：由A、B知C项不对； D项：由题意为的因子，而的因子只有1,,结合大小关系，可知，不妨设，若 ，则，从而，这是不可能的，故只能这意味着，均为素数，则D正确。 均为素数，且平均数为13，则（ ） 中位数最大为17 中位数最大为19 中位数最小为5 中位数最小为7 【答案】B 平均数为13的五个数之和为65，设中位数的最大值为，则有，从而知最大为19，又3,5,19,19,19满足要求，故最大值为19；对于最小值，可构造出3,3,3,3,53使得中位数为3，而易证中位数为2不成立，因此最小值为3。 整数满足，问这样的有几组（ ） 100 B. 101 C. 102 D. 103 【答案】C 解法一：若中有两个零，共组解；若中只有一个零，共组解；若均非零，共组解。 综上，所求解的组数=6+48+48=102组。 解法二： 若：此时只能取0，而，共20组； 若：此时可取，而，共组； 若：此时可取，而，共组； 若：此时可取，而，共组； 若：此时可取，而，共组； 若：此时可取，而y,z只能都等于0，共2组. 综上，所求总组数。 如下图所示，在菱形中，，为延长线上一点，，,与外接圆交于，则（ ） 四点共圆 四点共圆 四点共圆 四点共圆 【答案】C 解：注意到A，B，F，D四点共圆，所以，所以 ，而，所以，所以B，F，C，E四点共圆，C项正确。 P为椭圆：上的动点，过P作切线交圆：于M,N，过M,N作切线交于Q，则（ ） 的最大值为 的最大值为 Q的轨迹是 Q的轨迹是 【答案】AC 解：设点，点，则过点Q作圆的两条切线，切点弦MN所在的直线方程为：， eq \o\ac(○,1) 而过椭圆上点P处的切线MN所在直线方程为： ， eq \o\ac(○,2) 比较 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2)得， eq \o\ac(○,3) 又点P在椭圆上：， eq \o\ac(○,4) 联立 eq \o\ac(○,3) eq \o\ac(○,4)得，故C正确，D错误； 点，， 直线OQ方程为：， 点P到直线OQ距离， 所以，又， 所以，最大值为，A正确，B错误. 综上，选AC。 实数满足，则（ ） 最小值为 最小值为 最大值为8 最大值为9 【答案】AC 解：由得，代入得： ， 令，则上式等价于， eq \o\ac(○,1) 实数可看做关于的一元二次方程的两根： ， eq \o\ac(○,2) 联立 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2)得： ， 当时，有最大值8；当时，有最小值. 综上，选AC。 为正实数，求的最大值（ ） B. C. D. 【答案】A 解： ， 取等条件：，即。 将长为1的线段随机截成三段，问他们能构成三角形的概率（ ） B. C. D. 【答案】A 解：设截得的三段长分别为，则，可行域为 ，如下图所示，可行域面积， 再考虑构成三角形的条件，不妨假设三边中最大，则构成三角形的约束为 ，作出可行域如上图阴影部分所示，阴影面积， 再考虑到三边中最大或最大的概率与最大概率相同，故所求构成三角形的概率. 7个互不相等的素数排成一排，任意相邻的3个和均大于100，问这7个素数的和的最小值（ ） 208 B. 206 C. 201 D. 198 【答案】A 解：不妨设符合要求的一排素数依次是，则有，，故首先排除C、D选项； 注意到A、B选项均为偶数，故这7个素数中必含有2。 若： 注意到必为奇数，假设，由于2是最小的素数，即，则，矛盾，所以，同理，此时； 若： 由对称性不妨假设中某个等于2，则， 若，必有，否则时会导致产生矛盾，故此时， 若，此时，. 综上，，构造符合要求的排列，其和为208. 实数满足，求的最大值（ ） B. C. D. 【答案】A 解法一（排除法）：由得，再由柯西不等式得： ， 所以，故只能选A. 解法二：，欲求的最大值，显然应考虑与同号的情形，不妨设： 由可得 令，则上式等价于 。 如