专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直.docx
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专题二:立体几何 - -

线面垂直、面面垂直 作者 : _____________ 日期 : _____________

专题二:立体几何 线面垂直、面面垂直

一、知识点

( 1)线面垂直性质定理

( 2)线面垂直判定定理

( 3)面面垂直性质定理

( 2)面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直

1.如图 1,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点, AC 交 BD 于点 O,求

证: A1O 平面 MBD .

证明:连结 MO, A1M ,∵ DB⊥ A1 A , DB⊥ AC,

A1 A I AC A ,

A ACC

,而 AO

平面 A ACC

1

∴ DB⊥ A O .

∴ DB⊥平面 11

1

1

1

设正方体棱长为 a ,则 A1O 2

3 a 2 , MO 2

3 a 2 .

2

4

在 Rt△ A1C1M 中, A1M 2

9 a2 .∵ A1O 2

MO 2

A1 M 2 ,∴

4

AO OM . ∵OM∩ DB=O,∴ A O ⊥平面 MBD .

1 1

评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过

计算来证明.

利用面面垂直寻求线面垂直

2.如图 2, P 是△ ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC

⊥平面 PBC.求证: BC⊥平面 PAC.

证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D.

因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC,

AD 平面 PAC,且 AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得 AD⊥平面

PBC. 又∵ BC 平面 PBC,∴ AD⊥ BC.

∵PA⊥平面 ABC, BC 平面 ABC,∴ PA⊥BC.

∵AD∩PA=A,∴ BC⊥平面 PAC.

评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直
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