专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直.docx
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专题二:立体几何 - -
线面垂直、面面垂直 作者 : _____________ 日期 : _____________
专题二:立体几何 线面垂直、面面垂直
一、知识点
( 1)线面垂直性质定理
( 2)线面垂直判定定理
( 3)面面垂直性质定理
( 2)面面垂直判定定理
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
1.如图 1,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点, AC 交 BD 于点 O,求
证: A1O 平面 MBD .
证明:连结 MO, A1M ,∵ DB⊥ A1 A , DB⊥ AC,
A1 A I AC A ,
A ACC
,而 AO
平面 A ACC
1
∴ DB⊥ A O .
∴ DB⊥平面 11
1
1
1
设正方体棱长为 a ,则 A1O 2
3 a 2 , MO 2
3 a 2 .
2
4
在 Rt△ A1C1M 中, A1M 2
9 a2 .∵ A1O 2
MO 2
A1 M 2 ,∴
4
AO OM . ∵OM∩ DB=O,∴ A O ⊥平面 MBD .
1 1
评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过
计算来证明.
利用面面垂直寻求线面垂直
2.如图 2, P 是△ ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC
⊥平面 PBC.求证: BC⊥平面 PAC.
证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D.
因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC,
AD 平面 PAC,且 AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得 AD⊥平面
PBC. 又∵ BC 平面 PBC,∴ AD⊥ BC.
∵PA⊥平面 ABC, BC 平面 ABC,∴ PA⊥BC.
∵AD∩PA=A,∴ BC⊥平面 PAC.
评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直