直角三角形存在性问题巩固练习(提优)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版).docx
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直角三角形存在性问题巩固练习(提优)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版).docx

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直角三角形存在性问题巩固练习(提优)

1. 已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.

(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是   ,衍生直线的解析式是   ;

(2)如图,设(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使△POM为直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【解答】(1)y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3;(2)存在,P为(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2).

【解析】(1)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过(0,﹣3),∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3,

∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,

∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点(1,﹣4),

∴﹣4=a?1﹣3,解得 a=﹣1,∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3.

设衍生直线为y=kx+b,

∵y=kx+b过(0,﹣3),(1,﹣4),

∴,∴,∴衍生直线为y=﹣x﹣3.

(2)∵N(0,﹣3),∴MN绕点N旋转到与x轴平行后,解析式为y=﹣3,

∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2.

设点P坐标为(x,﹣2),

∵O(0,0),M(1,﹣4),

∴OM2=(xM﹣xO)2+(yO﹣yM)2=1+16=17, OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP)2=x2+4, MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.

①当OM2=OP2+
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