曲线积分 课件.ppt

9-5 1 § 9.5 曲线积分 概述： 重 积分是对定积分从维数上的推广 ( 指被积函数和积分区域 ). 而曲线积分和曲面积分则是对积分 区域“由平直到弯曲”的推广． 教材仅对曲线积分做了简单介绍． 主要内容分两部分： １．对弧长的曲线积分，这是第一型曲线积分； ２．对坐标的曲线积分，这是第二型曲线积分． 9-5 2 一、第一型曲线积分 实例 : 曲线形构件的质量 o x y A B 1 ? n M i M 1 ? i M 2 M 1 M ) , ( i i ? ? C . s M ? ? ? 匀质之质量 分割 , , , , 1 2 1 i n s M M M ? ? ? ? , ) , ( i i i s ? ? ? ? 取 . ) , ( i i i i s M ? ? ? ? ? ? ? 求和 . ) , ( 1 ? ? ? ? ? n i i i i s M ? ? ? 取极限 . ) , ( lim 1 0 ? ? ? ? ? ? n i i i i s M ? ? ? ? 近似值 精确值 9-5 3 舍弃物理意义，我们一般有 定义 设Ｃ是光滑曲线， ) , ( y x f 是Ｃ上的连续函数， 在Ｃ上任插入 n －１个点 B M M M A n ? ? , , , 1 0 ? 其中有代表性一段弧长 , i s ? 在小弧段 i s ? 上 任取一点 ), , ( i i ? ? 作和 ; ) , ( 1 ? ? ? ? n i i i i s f ? ? 如果当 i s ? 中的最大者 0 ? s 时和式的极限存在， 则此极限称为函数 ) , ( y x f 沿曲线Ｃ的第一型 曲线积分， 记作 , ) , ( ? C ds y x f 即 ? ? ? ? ? ? n i i i i s C s f ds y x f 1 0 ) , ( lim ) , ( ? ? 积分 弧段 被积 函数 弧长 元素 积分 和式 9-5 4 如曲线形构件的质量 . ) , ( ? ? C ds y x M ? 几点说明： １．由于积分变元为曲线弧 s ，故称对弧长的积分； ２．当被积函数在Ｃ上连续时，此曲线积分必存在； ３．可推广到空间曲线Ｃ，即函数 ) , , ( z y x f 在 空间曲线Ｃ上对弧长的积分为 . ) , , ( lim ) , , ( 1 0 i n i i i i s C s f ds z y x f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ４．第一型曲线积分有类似于定积分的一些性质 . ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [ ) 1 ( ? ? ? ? ? ? C C C d y x g ds y x f ds y x g y x f 9-5 5 ). ( ) , ( ) , ( ) 2 ( 为常数 k ds y x f k ds y x kf C C ? ? ? . ) , ( ) , ( ) , ( ) 3 ( 2 1 ? ? ? ? ? C C C ds y x f ds y x f ds y x f ). ( 2 1 C C C ? ? 如果曲线Ｃ是分段光滑或被积函数分段连续时， 一定要用性质（３）！ ５．第一型曲线积分是与积分弧段Ｃ的方向无关的， 这是与下面将要介绍的第二型曲线积分的最大不同． 对空间曲线有类似的性质． 下面我们看如何计算． 我们以平面曲线弧为例说明． 9-5 6 设平面曲线Ｃ： ), ( ), ( t y t x ? ? ? ? x y O C A B 则由第一册的知识知道 , dt t t dy dx ds 2 2 2 2 )] ( [ )] ( [ ? ? ? ? ? ? 而当曲线上的点从 A 移动 B 时 ,t 的变化范围从 α 变到 β ， 注意必须 α β! 把这些代入，即得 ? C ds y x f ) , ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? dt t t t t f 2 2 )] ( [ )] ( [ )] ( ), ( [ 再次提醒： 必须 α β ！！ 特别地，当曲线Ｃ由 ) ( x y y ? 给出时， ? C ds y x f ) , ( ? ? ? b a dx y x y x f 2 1 )] ( , [ 9-5 7 若Ｃ由 ) ( y x x ? 给出，你能写出计算公式吗？ 推广 : ) ( ). ( ), ( ), ( : ? ? ? ? ?