文档介绍
练 习 题 练习题答案 一、四则运算的连续性 定理1 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 证 将上两步合起来: 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 例2 解 同理可得 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 练 习 题 练习题答案 一、函数的连续性 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 二、函数的间断点 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续