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几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

定理 1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S1 : S2 = a : b

定理 2：等分点结论 ( 鸟头定理 )

如图，三角形 △AED 的面积占三角形 △ABC 的面积的 3 1 3 5 4 20

定理 3：任意四边形中的比例关系 ( 蝴蝶定理 ) ∶S ∶S ×S = S ×S 1） S1 2 =S4 3 或 S1 3 2 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2 ）AO ∶OC = （S ＋S ）∶（ S ＋S ） 1 2 4 3 梯形中的比例关系 ( 梯形蝴蝶定理 ) 2 2 1）S1 ∶S3 =a ∶b 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2 ）左、右部分的面积相等 3 ）S ∶S ∶S ∶S 2 ∶b2 1 3 2 4 =a ∶ab ∶ab 2 4 ）S 的对应份数为（ a+b）

定理 4：相似三角形 性质 a b c h 1） A B C H 2 2 2 ） S1 ∶S2 = a ∶A

定理 5：燕尾定理 S△ABE ∶ S△AEC = S△ BGE ∶ S△ GEC = BE ∶EC S△ BGA ∶ S△ BGC = S△AGF ∶ S△ GFC = AF ∶FC S△ADC ∶ S△ DCB = S△ ADG ∶ S△ DGB = AD ∶DB

二、 例题

例 1、如图， AD DB ， AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， ABC 的面积是

多少平方厘米？ B D A E F C 1 1 1

例 2、有一个三角形 ABC 的面积为 1，如图，且 AD AB ， BE BC ， CF CA ，求 2 3 4

三角形 DEF 的面积 . A D F

例 3、如图，在三角形 ABC中，，D 为 BC的中点， E 为 AB B E C 1