高二数学苏教版选修2-2精编讲义：第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值 word版含解析.doc

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1．3.2　极大值与极小值

[对应学生用书P16]

极　值

已知y＝f(x)的图象(如图)．

问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？

提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．

问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？

提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．

1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．

2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．

3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．

极值与导数的关系

观察图(Ⅰ)．

问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？

提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.

问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？

提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.

1．极大值与导数之间的关系如下表：

x

x1左侧

x1

x1右侧

f′(x)

f′(x)>0

f′(x)＝0

f′(x)<0

f(x)

增

极大值f(x1)

减

2．极小值与导数之间的关系如下表：

x

x2左侧

x2

x2右侧

f′(x)

f′(x)<0

f′(x)＝0

f′(x)>0

f(x)

减

极小值f(x2)

增

1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．

2．函数的极值并不惟一(如图所示)．