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高阶方程的降阶技巧

目 录

一．高阶方程的引入及定义………………………………………………………1

二．几类常见的可降阶的高阶微分方程…………………………………………2

（一）型的微分方程………………………………………2

（二） 型的微分方程…………………………………………3

（三）型的微分方程………………………………………4

（四）二阶方程的幂级数解………………………………………………………5

三．其他情况的高阶微分方程……………………………………………………7

四．总结……………………………………………………………………………12

参考文献……………………………………………………………………………12

高阶方程的降阶技巧

摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。

关键词:线性微分方程，降阶，非零特解 PAGE \* MERGEFORMAT 12

一．高阶方程的引入及定义 所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数. 函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线