《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结.doc

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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

函数与极限

一. 函数的概念

1.两个无穷小的比较

设且

（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)

2.常见的等价无穷小

当x →0时

sin x ~ x，tan x ~ x， ~ x， ~ x，

1? cos x ~ ， ?1 ~ x ， ~ x ，~

二．求极限的方法

两个准则

准则 1. 单调有界数列极限一定存在

准则 2.（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

若，则

两个重要公式

公式1

公式2

用无穷小重要性质和等价无穷小代换

用泰勒公式

当时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

洛必达法则

定理1 设函数、满足下列条件：

（1），；

（2）与在的某一去心邻域内可导，且；

（3）存在（或为无穷大），则

这个定理说明：当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大．

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ospital）法则.

型未定式

定理2 设函数、满足下列条件：

（1），；

（2）与在的某一去心邻域内可导，且；

（3）存在（或为无穷大），则

注：上述关于时未定式型的洛必达法则，对于时未定式型同样适用．

使用洛必达法则时必须注意以下几点：

（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则；

（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；