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高中函数值域的求法

题型一　求函数值：特别是分段函数求值

例1　已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).

(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f[g(3)]的值.

解　(1)∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).

又∵g(x)＝x2＋2，

∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)∵g(3)＝32＋2＝11，

∴f[g(3)]＝f(11)＝eq \f(1,1＋11)＝eq \f(1,12).

反思与感悟　求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.

跟踪训练4　已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2).

(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].

解　(1)∵f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2)，∴f(2)＝eq \f(2＋1,2＋2)＝eq \f(3,4).

f(1)＝eq \f(1＋1,1＋2)＝eq \f(2,3)，f[f(1)]＝f(eq \f(2,3))＝eq \f(\f(2,3)＋1,\f(2,3)＋2)＝eq \f(5,8).

5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.

(1)求f(2)，f(eq \f(1,x))；

(2)若f(x)＝5，求x的值.

解　(1)f(2)＝22＋2－1＝5，

f(eq \f(1,x))＝eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－1＝eq \f(1＋x－x2,x2).

(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，

∴x＝2，或x＝－3.

4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________.