08 量子力学试题B评分标准.doc
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济南大学2007~2008学年第二学期《量子力学Ⅰ》试卷(B)
参考答案与评分标准
填空（每空2分，共20分）
厄米, 实
，
，
， 或（考虑电子的自旋）
，.
计算题(每题5分, 共20分)
1． 解：由归一化条件知： （3分） 解得： （2分）
解： （5分）
解：的本征值为： （2分）
本征态为：；； （各1分）
解：一维谐振子势为： 由位力定理可知： （2分） 而 （2分） （1分）
三 证明题（每小题5分, 共20分）
1. 证明： （5分） 2. 证明： （2分） 分别左乘和右乘上式，并利用得
； （2分）
上两式相加可得： （1分）
3. 证明： （1分） （2分） （2分）
和均为厄米算符.
4. 证明： 设. （1） （2） （2分）
对(2)取复共轭
上式右乘并积分 （3）
利用得 （4）
（4）代入（3）可得 （2分）
如果，则必有 （1分）
四、（15分）
解：薛定谔方程为： （3分）
在区域内的通解是：， （2分）
利用边界条件得 （2分）
则
， ， （n为奇数） （2分）
，， （n为偶数） （2分）
体系的能级为： （2分）
归一化后的波函数为： （2分）
五、（10分）
解：能量本征方程为： （5分） 能量本征函数可取为： （5分）
能量本征值为： （5分）
六、(15分)
解：(1) 无微扰哈密顿的本征方程为： （3分）
久期方程为：
解得： （3分）
本征值和本征矢为
，；，；，（6分）
（2）
则 （1分） （1分） （1分）