高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案.doc

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空间向量与立体几何经典题型与答案

1 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面⊥面

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为

所求二面角的平面角

2 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,

平面底面 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小

证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 （Ⅰ）证明：不防设作，

则， ，

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 ∴平面 （Ⅱ）解：设为中点，则，

由

因此，是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为

3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，， 为的中点 （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、

、，

从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为 （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则

，由面可得， ∴

即点的坐标为，从而点到和的距离分别为

4 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所

截面而得到的，其中 （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求点到平面的距离

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量，

的夹角为，则

∴到平面的距离为

5 如图，在长方体，中，，点在棱上移动 （1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何值时，二面角的大小为

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

（1）

（2）因为为的中点，则，从而，

，设平面的法向量为，则